Да, по будням с 11 до 15 часов на Новой территории зоопарка работает площадка общения - там дети могут погладить животных.

Сначала вам надо доехать до Москвы вообще: автобус (или маршрутка, разница в скорости незначительная, отправление по наполнению, довольно часто) до метро Домодедовская либо аэроэкспресс (каждые полчаса) до метро "Павелецкая". Есть еще иногда обычная электричка, идет немного дольше экспресса, стоит в три раза дешевле, но ходит всего несколько раз в день.
Дальше уже надо будет ехать в зоопарк. От Домодедовской с одной пересадкой на метро: сначала по зеленой ветке до станции Тверская, там пересадка на Пушкинскую (фиолетовая ветка) и выход на станции Баррикадной (единственный выход). Из стеклянных дверей станции выйти направо на площадь и с нее уйти тоже направо вдоль зданий - башенка зоопарка будет видна издалека практически сразу. От Павелецкой лучше ехать по кольцевой линии метро, правда вход на нее находится от вокзала довольно далеко, на противоположной стороне Садового кольца, есть подземный переход. По кольцевой линии вам надо ехать до станции Краснопресненская, там тоже единственный выход. Сразу напротив выхода из метро находится подземный переход - выходить из него нужно направо - здесь вы тоже сразу увидите башню главного входа. Если с Павелецкой поедете по радиальной (зеленой) линии - переходите на Тверской/Чеховской (см. маршрут от Домодедовской).
Летом зоопарк работает до 21.00, кассы закрываются на час раньше. Билеты для детей покупать не нужно, вход для них бесплатный. Рассчитывайте силы и время - площадь зоопарка больше 20 га. Многие животные неактивны в дневное время при жаркой погоде, они могут спать или вообще скрываться во внутренних помещениях. Пожалуйста, не будите их, а если очень хочется посмотреть его в активной фазе - подойдите чуть попозже. На сайте зоопарка (moscowzoo.ru/) указан примерный график кормления животных. Пожалуйста, не кормите животных принесенной едой - от этого они болеют и умирают.
Да, имейте в виду, что по понедельникам зоопарк закрыт.
Обратную дорогу расчитывайте аналогичным образом, к этому моменту у вас уже будет опыт)
Хорошей прогулки!

Мне понравилось в хостеле RiverSide на набережной Мойки - везде действительно близко всё.

Из того, что рядом - в Витязево можно поехать на винзавод, а всё остальное подальше, но тем не менее одним днем можно самостоятельно погулять в Новороссийске или Тамани.